Forex4You

К 80-ти летию Бенуа Мандельброта: часть 2

Математик, Философ, Художник…

Почему Бенуа Мандельброт провел 35 лет под крышей IBM (продолжая и сейчас оставаться ее почетным членом) и только в 1987 году стал (вначале параллельно) профессором Йельского университета? Ответ, как всегда, дал он сам: "Университетские учреждения обычно подразделяются на вполне определенные группы специалистов, в то время как мои интересы распространялись на многие области". Вторая причина состояла в том, что до признания фракталов финансирование его исследований в университете получить было бы крайне трудно. Кто захочет давать деньги на изучение формы облака? Однако таким человеком оказался Ральф Гомори, выдающийся математик и "менеджер высшего уровня".  Его позиция позволила Мандельброту идти в науке своим, "фрактальным путем". Географическая изоляция исследовательского центра IBM затрудняла отслеживание происходящих в науке событий и смены мод, но взамен давала возможность развивать собственные идеи в лишенной помех исследовательской атмосфере.

Математический факультет Йельского университета, где Мандельброт впервые получил постоянное место, также следовал своей особой традиции: "сначала думать о людях", а потом уже о том, чем они занимаются. В своей работе каждый мог следовать туда, куда она его вела, отклонения и повороты согласовывать не требовалось.

Б. Мандельброту трудно присвоить ярлык: "математик", "экономист", "физик", "гидролог"… - любое клише характеризует его не полностью. "Тогда как же меня называть?" - спрашивает он. - "Некоторые действительно называют меня экспериментирующим философом, потому что я философ в глубине души. В этом нет сомнения, но, в некотором смысле, я "математик-без-дефиса", не "чистый математик", не "прикладной математик", и не "математико-физик". И я один из немногих, кто представляет сегодня эту профессию. Для справочника "Кто есть кто?" я написал МАТЕМАТИК И УЧЕНЫЙ или даже МАТЕМАТИК, УЧЕНЫЙ, ИССЛЕДОВАТЕЛЬ И ХУДОЖНИК, что обескуражило издателей, которые предпочитают одно слово".

То, что Мандельброт не "чистый математик", очевидно. Не так легко привести пример доказанной им теоремы. Профессионального математика он сравнивает с шахматистом: "Чтобы по-настоящему играть в шахматы, необходимо достаточно глубоко изучить все великие игры за последние сто лет или более. Для успеха в математике, в дополнение к таланту и мастерству, вы должны мгновенно вспоминать каким образом решались различные технические проблемы.  Те, кто делают это особенно хорошо, становятся известны как великие техники. Я абсолютно не техник. Я не прочитал все обо всех тех старых играх. Однако я знаю много замечательных мастеров, решающих задачи, и я часто ищу их, чтобы предложить свои наполовину-испеченные идеи, касающиеся сложных проблем". Мандельброт считает, что постановка проблем и выдвижение гипотез, с одной стороны, и формулировка и доказательство теорем, с другой, - два вида математической деятельности, и поэтому существование двух типов математиков вполне естественно.

"Прикладной математик"? - "Нет. Я никогда не позволял себе удовольствие заниматься той деятельностью, которую обычно называют этим именем. Карикатурное представление о прикладном математике состоит в том, что это консультант, который берет математические методы, не им разработанные, и применяет их по мере надобности к проблемам, которые не он поставил".

Исследователь? - Безусловно. Все творчество Мандельброта направлено на исследование природы. Открытие математического понятия, способного описать нерегулярную геометрию огромного разнообразия природных форм, является одним из важнейших научных достижений второй половины XX века. По выражению Д. Мамфорда, исследовательский подход Мандельброта состоит в том, чтобы непредвзято оценить то, что хотят сказать имеющиеся в его распоряжении данные, а затем подыскать математику, способную это выразить. Если же таковой нет, то ее приходится создавать.

Художник? - Почему бы и нет? "Будучи языком, математика может быть использована не только для того, чтобы сообщать, но среди прочего и для того, чтобы пленять". Благодаря Мандельброту мы увидели чарующую красоту его знаменитого множества и получили возможность, изучив азы программирования, создавать эту красоту своими руками. Вряд ли удастся назвать другую область математики, которая приводила бы к более пленительным образам, чем фракталы - даже для широкой публики они "оригинальны настолько, насколько это вообще возможно". Можно вспомнить и фрактальные пейзажи, которые сейчас широко используются в компьютерных играх и в Голливуде. Уже поэтому Мандельброта можно назвать художником. Но есть и более весомые аргументы. Фрактальные структуры отчетливо видны во многих произведениях искусства - живописи, архитектуры, дизайна, музыки. В здании парижской Оперы, в соборе Саграда Фамилиа Антонио Гауди, присутствуют детали любого масштаба. То же самое справедливо и для картин старых мастеров. Фуги И. С. Баха отличаются широким диапазоном тональных и ритмических переходов, несложно вычислить их фрактальную размерность. Фрактальные формы обнаруживаются в абстрактном искусстве и графическом дизайне. После Мандельброта фракталы в искусстве начали использовать сознательно. Появилась, например, интернациональная группа "художников-фракталистов", которые подчеркнуто применяют фрактальные принципы в своих произведениях. Похоже, начинает сбываться предсказание Мандельброта: "Я уверен, что как только художники познакомятся с новыми фрактальными средствами, некоторые из них создадут с их помощью великие вещи".

Связь фракталов с искусством не так уж удивительна. Художники (в широком смысле слова) выражают в своих произведениях результаты эмоционального познания мира, который, как мы теперь знаем, в огромной степени фрактален. Да и сам процесс эмоциональной деятельности, по меньшей мере, не лишен фрактальных свойств. Красота фрактальной природы (или, перефразируя Г. Флейка, фрактальная красота природы) стала эталоном нашего эстетического чувства, а значит, то, что мы считаем красивым, должно обладать свойствами фракталов. Говоря об искусстве, Мандельброт вспоминает лекции великого Германа Вейля, которые он слышал в Принстоне; из них потом выросла книга "Симметрия". "Вейль подчеркивал, что идея симметрии у древних, доклассических греков была намного богаче, чем сегодняшнее узкое понятие зеркальных отражений. Для них симметрия выражала вид гармонии между частями и целым." Не эту ли гармонию воплощают в себе фракталы, соединившие искусство и науку?

Насколько велики основания для того, чтобы называть Бенуа Мандельброта философом? Если вопрос, какова пространственно-временная структура мира, относить к философии, то они, очевидно, есть. Геометрия природных форм и процессов - основной вопрос, который он перед собой ставил. Особенность подхода Мандельброта состоит в том, что, как бы ни была сложна форма, он вовсе не желает ее упрощать. Он не идет по стопам Евклида в стремлении спрямить, скруглить сложную форму, заменить ее уже изученной, с тем, чтобы когда-то в будущем подобраться к ней ближе и точнее, добавив необходимый изгиб в каждом конкретном месте. Наука "не помышляет о точном воспроизведении зигзагов, - говорит Мандельброт. - Она ищет скрытое общее". Он стремится описать форму во всей ее сложности, сразу и целиком. Не следует Мандельброт и принципу Декарта "Разбивай трудности на части", согласно которому, расчленение сложной проблемы на более простые облегчает ее решение. Напротив, он утверждает, что целое часто описать проще, чем составить его портрет по частям. В турбулентном речном потоке ламинарное течение и водовороты сменяют друг друга. Для описания потока, или кленового листа, вовсе необязательно искать сложное уравнение со многими параметрами. Можно воссоздать форму листа, воспроизвести искусственный поток, который ведет себя так же, как его естественный прототип. "Способность к имитации представляет собой не что иное, как разновидность понимания," - говорит он. Как только подобное описание станет доступным, многие области продвинутся к отличным теориям .

Фракталы стали тем понятием, а правила их генерации - тем методом, которые сделали моделирование Природы успешным. 400 лет назад Галилей сквозь телескоп вглядывался в звездное небо, а Кеплер изучал данные астрономических наблюдений. Мандельброт изучал формы и процессы при помощи компьютерного моделирования. В сущности, они делали одно и то же - строили математическую модель Природы. Но если Галилей и Кеплер могли обойтись старыми средствами, то для моделирования более сложных явлений, за изучение которых взялся Мандельброт, пришлось ввести новые понятия. Буквами нового языка стали не треугольники и эллипсы, а фракталы. В результате оказалось, что для объяснения сложных явлений далеко не всегда необходимо искать сложные причины, они могут быть на удивление простыми. Новая революционная парадигма обнаружила порядок и простоту в системах с высокой, на первый взгляд, степенью нерегулярности и сложности. Мир устроен на основании совсем небольшого количества простых идей - это ли не философское открытие Мандельброта?

Новый подход позволил Мандельброту подойти к описанию явлений, сложность которых вызвана игрой случая. В 1964 году в докладе по эпистемологии науки он высказал утверждение о том, что роль случая может быть различной, и выделил два типа случаев: ручной, подчиняющийся закону больших чисел и классической предельной теореме, и дикий, стихийный, для которого это неверно (позднее он добавил к ним еще один, промежуточный). Вопреки распространенному мнению, Мандельброт убежден, что менее развитые науки - это не те, которые оформились позже других, а те, которыми управляет стихийный случай. Классификация случайности переводит научное познание на новую стадию индетерминизма, на которой становится необходимым построение моделей принципиально нового типа. Этот переход влияет не только на детали ответов, но и на выбор тех вопросов, которые имеет смысл задавать.

Книги Мандельброта - соединение математики и философии, плюс элементы физики, экономики, биологии, истории... "Фрактальная геометрия возникла как интегрированное целое под управлением философии, которая постигалась и развивалась в условиях, на которые - к добру или нет - в огромной степени влияла история моей собственной жизни. Смог бы другой индивидуум или коллектив достичь этой же философии и построить это же целое?" - спрашивал Мандельброт в 1987 году. Вопрос не такой уж риторический - ответ на него дан почти 20 лет спустя: "Сегодня было бы почти невозможным кому-либо другому войти в орбиту, похожую на мою".

Итог своей научной деятельности Мандельброт кратко подвел в книге. Идя "снизу вверх", от реальных "земных" задач, зачастую игнорируемых другими учеными, он не помышлял о создании некой теории всего или даже новой научной области. "Полностью понять то, что я в действительности осмелился сделать, мне суждено было только постфактум, на склоне моей жизни," - говорит он.

Сам того не сознавая, Мандельброт посвятил жизнь созданию теории грубых форм⁴. Цвет, температура, вкус и другие воспринимаемые нашими органами чувств свойства предметов давно стали предметом исследования физики, химии. В то же время неровность, грубость, шероховатость поверхностей, которые мы ежедневно ощущаем посредством осязания, сами по себе никогда специально не изучались. Треугольников, имеющих всего три нерегулярные точки, окружностей и других гладких фигур для описания грубых форм недостаточно. "Бесконечный океан сложности включает в себя два острова: один – евклидовой простоты, и второй - тоже относительно простой, остающийся неизменным в любом масштабе, несмотря на присутствие грубости". Мандельброт ни в коей мере не утверждает, что все то, что негладко, - фрактально. Однако он действительно утверждает, что "после того, как обнаруживается, что реальный предмет не гладок, следующей математической моделью, которую стоит попробовать, является фрактальная или мультифрактальная. Сложная форма не обязана быть фрактальной, но обнаружение того, что она "даже не фрактальна" - плохая новость", ибо до сих пор не создано никаких методов, возможности которых простирались бы за пределы фракталов. Фракталы неприложимы ко всему подряд, но они вездесущи, поскольку неровности присутствуют всюду. И очень часто фрактальные методы "оказываются применимыми в таких областях, которые в любом другом отношении, кроме своей геометрической структуры, изолированы друг от друга".

В интервью Мандельброт говорит, что он "оставил всего лишь царапину на поверхности всего". Однако эта царапина безмерно увеличила фрактальность мира, точнее - меру нашего понимания его фрактальности. Теперь "вопрос в том, какова степень того единства, что может быть создано благодаря этой одной идее." Далее он добавляет: "Самый верный критерий - критерий времени." В интервью удовлетворение от того, какое внимание привлекают сейчас фракталы на многочисленных симпозиумах и конференциях, соседствует с некоторым разочарованием: "… я достаточно одинок в воплощении синтеза." Тем не менее, Бенуа Мандельброт уверен в том, что "редкие благоприятные молнии" будут и впредь освещать темный междисциплинарный пейзаж. В конце концов, брешь пробита, дорога проложена - Мандельброт доказал справедливость утверждения Германа Вейля: "мир не есть хаос, он есть космос, гармонически упорядоченный посредством нерушимых законов математики".

Личные впечатления

Думаю, будет уместным поделиться личными впечатлениями о Бенуа Мандельброте. Моя первая встреча с ним была заочной. В начале 90-х в Пущино программист Олег Кислюк демонстрировал свои фрактальные пейзажи, и, конечно же, там не обошлось без множества Мандельброта. Публикация "Красоты фракталов" укрепила интерес, таинственная математика манила за картины. Постепенно из хобби вырос небольшой курс фрактальной геометрии. В одной из поездок мне удалось бегло просмотреть FGN и сделать копии нескольких страниц, чтобы внимательно прочесть их позже. Первое впечатление от книги было странным. Это была математика совершенно непохожая на все, с чем приходилось встречаться прежде. Стиль создавал ощущение непосредственного присутствия при рождении идеи. Этому способствовали эмоциональность изложения от первого лица и художественный, хотя и математически точный, язык. Понимание глубины пришло позже, намного раньше - ощущение того, что эта книга - живая классика, а ее создатель - мыслитель масштаба великих энциклопедистов.

В 1999 году меня пригласили участвовать в двух конференциях в рамках программы по фрактальной геометрии, которую проводил Институт математических наук Исаака Ньютона в Кембридже. Бенуа Мандельброт был постоянным участником программы в течение четырех месяцев. Организатор программы профессор Кеннет Фальконер из университета Сент-Андрюс познакомил нас в первый же день во время перерыва на ленч. Мандельброт оказался высоким плотным человеком в будничном темно-коричневом костюме. На голове не слишком причесанный короткий седой ежик. Сквозь сильные линзы очков глаза смотрели внимательно и добро. В них был живой интерес, - по-видимому, к каждому новому человеку. Удивил его английский - долгая жизнь в Америке так и не смогла истребить мягкий и певучий французский акцент. Бенуа Мандельброт сразу же сообщил, что лето 1934 года, когда ему было 10 лет, он провел в маленькой деревушке на территории нынешней Беларуси. Деревушка была бедной, всего в нескольких километрах проходила польско-советская граница. Его предостерегали: "В ту сторону не ходи, там дядька с ружьем стоит". Так с тех пор и не пришлось Мандельброту пересечь восточную границу Польши.

Иногда говорят о заносчивости, надменности Бенуа Мандельброта. Могу утверждать только обратное. Ни в одном разговоре он не дал почувствовать разницу в положении. Он первый мог поинтересоваться впечатлениями о докладах. Однажды разговор коснулся архитектуры Кембриджа – в этом городе невозможно не заговорить об архитектуре. В частности, он поинтересовался, побывал ли я в Кингз Колледж Чепел, и когда узнал, что еще нет, посоветовал обязательно туда сходить. Что я и сделал вскорости, и искренне ему благодарен – сэкономив 6 фунтов, я бы не увидел красоты и величия этого уникального собора.

После торжественного ужина получилось так, что часть пути домой мы с Бенуа Мандельбротом и его женой Альетт шли вместе. На конференцию я брал диктофон, и в тот вечер он был у меня с собой. Мне пришла идея попросить Мандельброта сказать несколько слов белорусским студентам, и, к моему удивлению, он с готовностью согласился. Но поскольку на улице было довольно шумно, мы свернули в какой-то глухой и темный переулок. Место казалось совершенно неподходящим для знаменитостей. Но Мандельброт так не считал. Минуту подумав, он представился и пожелал студентам страны, в которой никогда не был, хорошо делать свое дело - учиться, а в конце добавил: "И давайте встретимся когда-нибудь".

Учиться… Мандельброт продолжал учиться всегда. По-моему, он прослушал все доклады на обеих конференциях. Он всегда сидел в одном из первых рядов. Иногда его голова склонялась, глаза были закрыты… но неожиданно он задавал вопрос, нацеленный в самую суть проблемы. В его собственных докладах всегда говорилось о новых конкретных результатах. Речь текла спокойно и одновременно воодушевленно. Иногда случались отклонения в сторону: он с удовольствием рассказывал о математиках, чьи работы относились к теме доклада. Складывалось впечатление, что он знал почти всех. Когда речь заходила об истории вопроса, на стол проектора одна поверх другой быстро ложились штук шесть "прозрачек" – поперек или наискосок, неважно, - и слышалось: "Это я сделал в этой работе, а этот подход исследовал в той". И становилось удивительно: как много сделал этот большой, спокойный и мудрый человек! Человеческая простота, открытость, интерес к окружающему миру и мудрость – именно эти качества Бенуа Мандельброта я хотел бы выделить в первую очередь. Их подтвердила и вся наша дальнейшая переписка.

Я благодарен судьбе и Кеннету Фальконеру за честь быть с ним знакомым и с удовольствием посвящаю ему эту статью.

14 вопросов Бенуа Мандельброту (январь 2005)

Вопрос: Как Вы думаете, будет ли когда-нибудь дано точное определение фрактала? Или это такое же общее понятие, как и Природа?

ББМ: Я не думаю, что определение "фрактала" стоит искать. Примерно так же плохо определены такие вполне устоявшиеся понятия, как "теория вероятностей", но это никого не беспокоит. Я подробно обсуждаю этот вопрос на страницах 14 и 15 своей книги "Multifractals and 1/f Noise".

Вопрос: Можете ли Вы объяснить как работает Ваша интуиция? Чем различаются геометрический и алгебраический (и другие, если существуют) типы интуиции?

ББМ: Математики используют рисунки разными способами, в совокупности они образуют широкий спектр. На одном его краю находятся те, кто главными считают формулы и слова, но рисунки находят полезными. Даже грубые диаграммы и неполные "визуализации" части своих мыслей помогают им передавать эти мысли коллегам.

На другом краю спектра находятся те, для которых рисунки и слова одинаково важны и помогают друг другу. В прошлом люди старательно вычерчивали треугольник и круг, потом развлекались, добавляя некоторые линии, и, в конечном счете, наблюдали, что некоторые точки пересечения линий вроде бы попадают на новые прямые линии. Каждое такое наблюдение добавляет новое предположение для доказательства. Эта процедура была обычной для Евклида, но впоследствии исчерпала себя. После Понселе она потеряла созидательность и вышла из употребления, оставшись чисто педагогическим средством.

Мой вклад состоял в том, чтобы возродить ее благодаря компьютеру. Я показал, что исчерпала себя не процедура как таковая, а всего лишь человеческая рука.

Способность увидеть новые образы за исходными данными всегда считалась даром, которым обладают многие представители рода человеческого, но не все. Это тоже общепризнано и очень хорошо выражено у Пуанкаре и Феликса Клейна.

Вопрос: Вы несколько раз говорили, что развили свою интуицию самостоятельно. Как Вы это делали? Можете ли Вы дать какой-нибудь совет, чтобы другие могли сделать то же самое?

ББМ: Кто знает? В подарок на свадьбу мы получили от Матери кавказский ковер, который она сама получила в качестве свадебного подарка от своей кузины, жившей в Баку. (Сейчас это суперантиквариат - около века в одной семье.) Мать говорила, что я учился ползать на этом ковре. Это могло бы означать, что Евклидовым структурам меня научил этот ковер. Это дикая мысль, но ковры с четким геометрическим узором так и остались моими любимыми.

Если более серьезно, то Отец был очарован картами. Они заполняли дом, и я очень рано научился их читать и связывать друг с другом детальные и грубые карты.

Шахматы - игра пространства, я выучил ее рано и играл много, до тех пор, пока мы не уехали из Восточной Европы в Западную.

Все это предположения. Менее предположительны два факта. Школы не имеют никакого понятия о том, как взрастить геометрическую интуицию, а вот вдалбливать алгебру - задача простая, как для обучения, так и для оценивания, даже механического, и школы очень хорошо в этом преуспели. Однако в повседневном английском есть глубокая поговорка: "используй или потеряешь". Следствием постоянного вдалбливания является то, что геометрическая интуиция может зачахнуть вовсе. Это приводит к ужасающему парадоксу: полностью дезорганизовав мое образование, Гитлер, возможно, помог сохранить мою интуицию.

Вопрос: Прокомментируйте , пожалуйста, свою фразу из интервью 1984 года для журнала "Omni": "Я уверен, что как только художники познакомятся с новыми фрактальными средствами, некоторые из них создадут с их помощью великие вещи". И в связи с этим, Вы, конечно, знаете о "Группе Искусства и Сложности", объединяющей художников-"фракталистов". Находите ли Вы их работы более фрактальными, чем те, которые были созданы некоторыми художниками в "дофрактальную" эпоху?

ББМ: После того интервью в "Omni" я познакомился со многими художниками, которые находили вдохновение во фракталах. Но, по правде говоря, наше время очень неблагоприятно для художников. Поэтому я провел намного больше времени, размышляя о том, что в работах таких давно умерших гениев, как Хокусаи, фрактальность исключительно интуитивна, но очевидно присутствует. Более того, музыка находится в лучшем положении, чем живопись, и она полна фракталами.

Вопрос: Давайте обратимся к музыке, но не будем касаться Баха, так как фрактальность его фуг хорошо известна. Видите ли Вы фрактальные черты в операх Вагнера или в симфониях и поэмах Скрябина, в которых напряжение колеблется бесконечно; в произведениях Шенберга или Шнитке, которые почти всеми воспринимаются как хаотические; или в джазовых композициях, постоянно уходящих и возвращающихся к своей главной теме?

ББМ: Фрактальная природа музыки очень хорошо просматривается. Впервые она была обнаружена (с использованием спектрального анализа) физиком, моим бывшим коллегой Ричардом Ф. Фоссом. На его работу имеется ссылка в ФГП = "Фрактальная Геометрия Природы". Его выводы вскоре были подтверждены на языке музыки двумя композиторами: родившимся в Трансильвании Гиорги Лигети, которого часто считают величайшим из композиторов настоящего времени, и американцем Чарльзом Вуориненом. Оба стали добрыми друзьями.

Вопрос: Вы начали свои исследования с лингвистики. В каких литературных жанрах Вы видите больше фракталов: стихах, народных сказках и песнях, эпосах Гомера или Лонгфелло…? Можно ли по произведению определить автора?

ББМ: "Лингвистика" - слово, имеющее очень специфическое значение, которое на самом деле не приложимо к теме моего исследования. Мой вклад состоял в объяснении универсальной общности для всех языков того, что распределение словарных частот подчиняется закону Ципфа.

Вопрос: С какими достижениями или направлениями в искусстве Вы бы посоветовали ознакомиться математикам и другим ученым? И наоборот, какие научные принципы и математические закономерности было бы полезно знать людям искусства?

ББМ: Спонтанно и с незапамятных времен художники активно использовали инвариантности относительно сдвигов и вращений - это классика; а также относительно растяжения и сжатия - что, конечно же, характеризует фрактальность. Для современных художников соответствующие математические достижения одновременно и наиболее просты для восприятия, и наиболее полезны.

Вопрос: Каковы Ваши аргументы за и/или против изучения фрактальной геометрии в школе?

ББМ: За - их Вы можете найти во вводном разделе книги, которую мы написали с М. Л. Фреймом.

Против - инерция, пессимизм ("это все равно не сработает, так что нечего и беспокоиться"), боязнь местного начальства ("мой босс их не любит - хотя на самом деле ничего о них не знает, но слышал, что это всего лишь мода". Однако моды длятся 3 недели, 3 месяца, 3 года, но не 30 лет).

Вопрос: Означает ли фрактальность естественных структур, таких как растения, ландшафты, раковые опухоли и галактики, что те процессы, которые привели к их образованию тоже обладают общими чертами?

ББМ: Вовсе нет. Фрактальность часто является результатом роста. Но глава 11 ФГП утверждает, что фрактальность характеризует также решения многих дифференциальных уравнений.

Вопрос: Как соотносятся между собой теория фракталов и теория хаоса по степени общности?

ББМ: Фракталы и хаос имеют очень широкую область пересечения. Она включает, например, множество Мандельброта. Но фрактальные горы (с этой точки зрения) не имеют ничего общего с хаосом, так же как масса исследований хаоса не имеет никакого отношения к фракталам.

Вопрос: В прошлогоднем интервью журналу "Le Monde 2" [1] Вы сказали, что все еще одиноки в воплощении синтеза. Как можно изменить эту ситуацию? Может быть, необходима свежая идея? Что Вы можете сказать о синергетике? Могут ли наука и искусство, представляющие собой два способа познания мира, быть объединены в новой Игре в Бисер?

ББМ: Общество организовано так, что специализация эффективно поддерживается многими способами. Синтез восхваляется до тех пор, пока дело ограничивается словами и обещаниями. Его терпят, пока он бесплоден (например, синергетика очень слабо повлияла на господствующую тенденцию). Более интересные случаи, в которых синтез влияет на общее состояние, одновременно и более сложны. Мир промышленности, в котором я жил 35 лет, часто нуждается в синтезе и принимает его без возражений. Мир науки терпит такие виды деятельности, как биохимия, которые начинались как ограниченный синтез, но вскоре превратились в новые области, в дополнение к старым. Все такие категории игнорируют тех немногих индивидуумов, которые успешно осуществляют широкий синтез, выходящий за пределы двух областей; их решительно ущемляют.

Вопрос: Гарри Флейк в своей книге "Алгоритмическая красота природы" утверждает, что наиболее интересными являются те структуры, которые лежат между строгим порядком и хаосом, подобно тому, как демократия находится посередине между тоталитаризмом и анархией. Может ли знание теорий фракталов и хаоса способствовать принятию верных решений экономических, политических и социальных проблем?

ББМ: Утверждение Флейка длительное время поддерживается многими, в том числе и мной. Но пример, который использую я, другой - а именно, фракталы. Современное состояние экономики, политологии и социологии примитивно, и я думаю, что фракталы окажутся существенными для их дальнейшего прогресса.

Вопрос: Как бы Вы охарактеризовали роль работ Колмогорова, Шарковского и, возможно, других математиков из стран бывшего Советского Союза в создании современных междисциплинарных наук?

ББМ: Я встречал Колмогорова и считаю его работы исключительно вдохновляющими. Однако другие русские ученые, которых я встречал, почти так же специализированы, как и их западные коллеги.

Вопрос: Вы читали лекции во многих странах и университетах. Собираетесь ли Вы прочесть когда-нибудь хотя бы одну лекцию в России, Беларуси, Украине?

ББМ: Я в хорошей форме, но мне на несколько месяцев больше 80, и мне не хотелось бы уже далеко ехать для того, чтобы выступить всего с одной лекцией. Первоочередной приоритет я отдаю написанию нового, продолжаю работать очень напряженно и совершенно не настроен тратить много времени на дорогу. Другим фактором является то, что для того, чтобы моя работа получила широкое признание, потребовалось длительное время, а сегодня меня широко чествуют специфическими способами, и я не в состоянии это остановить: награды, академии, докторские степени и т.д. Это очень приятно, но занимает столько времени. Наконец, на некоторые конференции я езжу просто для того, чтобы поучиться. Вся эта деятельность не оставляет времени для туризма, любопытства или отдельных лекций. Мне очень жаль, что это так.

Благодарности

Я глубоко благодарен герою данной статьи Бенуа Мандельброту, любезно согласившегося ответить на вопросы и приславшего мне книгу и некоторые статьи из. Фотография также приведена с его любезного согласия. Благодарю своих друзей: профессора Дэна Кемпа, чья диссертация была посвящена биографии идеи фракталов, и который прислал мне свой рассказ о Б. Мандельброте; Дэвида Хейтона, сообщившего о работе; и профессора В. И. Заляпина который поддержал мой энтузиазм в работе над статьей и помог избежать математических ошибок.

<< Назад в раздел "Волновой \ фрактальный анализ forex"